bilgiz.org

Fibonacci DİZİSİ

  • Uzun kenarından başlayıp bir Altın Dikdörtgen çizmek için AB kenarının Altın Kesiti olan E noktası bulunur ve sonra AD=AE olacak şekilde ABCD çizilir.
  • Bir ABCD Altın Dikdörtgeninde AC köşegenine dik olan BO doğrusu DC kenarının ( ) Altın Kesitinden geçer.
  • Altın Üçgen



  • Tarih01.10.2017
    Büyüklüğü95.83 Kb.
    TipiYazı

    Indir 95.83 Kb.

    FİBONACCİ DİZİSİ
    başlangıç değerleri ve

    indirgeme bağıntısı ile tanımlı diziye Fibonacci dizisi denir.


    İndirgeme bağıntısı,

    ve karakteristik denklem



    olmak üzere karakteristik denklemin kökleri,





    dır. Dizinin genel terimi,



    biçimindedir. Başlangıç değerlerinden,

    denklem sistemi yazılır. Denklem sisteminin çözülmesiyle,





    elde edilir. Buna göre Fibonacci dizisinin genel terimi,



    dır.
    Fibonacci dizisinin ilk 20 terimi aşağıdadır.
















    1

    1







    11

    89

    1.618182

    2

    1

    1




    12

    144

    1.617977

    3

    2

    2




    13

    233

    1.618056

    4

    3

    1.5




    14

    377

    1.618026

    5

    5

    1.666667




    15

    610

    1.618037

    6

    8

    1.6




    16

    987

    1.618033

    7

    13

    1.625




    17

    1597

    1.618034

    8

    21

    1.615385




    18

    2584

    1.618034

    9

    34

    1.619048




    19

    4181

    1.618034

    10

    55

    1.617647




    20

    6765

    1.618034

    Leonardo Fibonacci 12-13 üncü yüzyıllarda yaşamış bir İtalyan matematikçisidir. Pisa şehrinde doğan Leonardo çocukluğunu babasının çalışmakta olduğu Cezair'de geçirmiştir. İlk matematik bilgilerini müslüman eğiticilerden almış olup küçük yaşlarda onluk Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Ülkesi İtalya'da kullanılmakta olan Roma sisteminin hantallığı yanında Arap sisteminin mükemelliğini gören Fibonacci 1201 yılında "Liber abaci" isimli kitabını yazmıştır. Aritmetik ve cebir içeren ticaret ile ilgili bu kitapta Arap sayı sisteminin tanıtımını ve müdafasını yapmıştır. İlk anda kitabın İtalyan tüccarları üzerinde etkisi az olmasına rağmen zamanla bu kitap arab sayı sisteminin batı Avrupa'ya girmesinde büyük rol oynamıştır. Bu kitapta bulunan bir problem ortaçağ matematiğine katkıları olan Fibonacci'yi altı yüzyıl sonra, ondokuzuncu yüzyılın başlarından günümüze meşhur hale gelmesine sebep olmuştur. Bu problem "tavşan problemi" dir. Ergin bir tavşan çiftinin her ay yeni bir yavru çifti verdikleri ve yeni doğan çiftin bir ay zarfında tam erginliğe eriştikleri varsayımıyla, yavru olan bir tavşan çiftinden başlayıp bir yılda (12 ayda) çiftlerin sayısı ne olur?



    Aylar : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Çiftlerin sayısı: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
    Kitaplara tavşan problemi olarak geçen bu problem halkımız tarafından kuzu-toklu-koyun problemi olarak bilinmektedir. Bilindiği gibi ergin bir kuzu olan toklu genellikle iki yaşına geldiğinde yavrulamaktadır. Buna göre bir yavru dişi kuzu ile başlayıp her yavrulama sonucu bir dişi kuzunun doğduğu ve ölüm olmaması durumunda 12 yıl sonunda kaç baş hayvana sahip olunur? Bu gelişimin ilk beş yılını şekil üzerinde gözleyelim. Dişi kuzuyu k, tokluyu T, koyunu K harfi temsil etmek üzere gelişim aşağıdaki gibidir.

    Belli bir yıldaki hayvan sayısı önceki iki yıldakilerin toplamı olmak üzere 12. yılda 144 baş hayvana ulaşılacaktır. Bunların yıllara göre yavru, toklu, koyun sayısı dağılışına gelince aşağıdaki gibi bir durum ortaya çıkmaktadır.

    Yıllar

    Kuzu sayısı

    Toklu sayısı

    Koyun sayısı

    Toplam

    1

    1

    -

    -

    1

    2

    0

    1

    -

    1

    3

    1

    0

    1

    2

    4

    1

    1

    1

    3

    5

    2

    1

    2

    5

    6

    3

    2

    3

    8

    7

    5

    3

    5

    13

    8

    8

    5

    8

    21

    9

    13

    8

    13

    34

    10

    21

    13

    21

    55

    11

    34

    21

    34

    89

    12

    55

    34

    55

    144

    Dikkat edilirse , yıldaki kuzuların sayısı olmak üzere, kuzular için



    indirgeme bağıntısı sözkonusudur ve çözüm olan

    1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . . .

    dizisinde için Fibonacci dizisi ortaya çıkmaktadır, yani



    dır. Benzer bir durum yıllara göre toklu sayısı için de sözkonusudur. yıldaki tokluların sayısı olmak üzere,



    dır. Yıllara göre koyunların sayısı ise iki yıl geçikmeli bir Fibacci dizisidir.

    Fibonacci'nin kendisi,

    1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , ...

    dizisi üzerinde bir inceleme yapmamıştır. Hatta bu dizi üzerinde ondokuzuncu yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı da belirtilmektedir. Ancak bundan sonra bu dizi üzerine yapılan araştırmaların sayısı Fibonacci'nin tavşanlarının sayısı gibi artmıştır.

    Fibonacci dizisinde olduğu gibi,



    indirgeme bağıntılı ve herhangi başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizileri,



    indirgeme bağıntılı başlanğıç değerli tribonacci dizileri gibi genellemeler yapılmıştır. Fibonacci Derneği tarafından 1963 yılından itibaren yayınlanan "The Fibonacci Quarterly" dergisi ilginç özelliklere sahip tamsayıları ve özellikle genelleştirilmiş Fibonacci sayılerını inceleyen araştırmalar yayınlamaktadır. Bu dergiyi “ziyaret edebilirsiniz”. Fibonacci dizilerinin çekiciliği bir taraftan matematiği sevenlerin çok az bir temel bilgiyle bu dizileri inceleme imkanı bulmaları diğer taraftan ise hayatta ve araştırmalarda hiç umulmadık yerlerde bu dizilerle karşılaşmalarından kaynaklanmaktadır. Bazısı bilinen, bazısı öne sürülüp ispatlanamayan ve bilinmeyip keşfedilmesi beklenen bir çok özelliğe sahip Fibonacci dizileri ile ilgili bilinen birkaç özellik üzerinde duralım.


    Genelleştirilmiş Fibonacci dizilerinde de geçerli olmak üzere, ve

    olan Fibonacci dizisinin bir terimi öncekine bölündüğünde bölümün için, "altın oran" denen ve irrasyonel bir sayı olan



    sayısına yakınsadığı görülmektedir. Gerçekten,







    dır.


    İrasyonel bir sayı olan

    sayısı,


    veya


    denkleminin pozitif değerli kökü olduğundan bir cebirsel sayıdır.



    den,



    yazılır. Ayrıca





    olmak üzere sayısı elemanları 1 olan bir sonsuz zincir kesiri'dir. Bu zincir kesirinin kısmi kesirleri,









    . . .


    olmak üzere ardışık iki Fibonacci sayısının oranıdır.

    başlangıç değerleri ve

    indirgeme bağıntısı ile tanımlanan genelleştirilmiş Fibonacci dizisi



    olmak üzere, bağıntısının gözönüne alınmasıyla,



    biçiminde yazılabilir. Görüldüğü gibi bu genelleştirilmiş Fibonacci dizisi aynı zamanda ortak çarpanı olan bir geometrik dizidir. Bu diziye Altın Dizi denmektedir. Altın Dizinin terimleri,



    olarak yazıldığında kesirlerin paylarındaki birinci terimler,



    gibi genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisi, ikinci terimlerdeki in önündeki katsayılar ise



    Fibonaci dizisini oluşturmaktadır.


    Fibonacci dizisinin ilk 20 teriminin toplamı acaba nedir?

    İlk n terimin toplamı











    olmak üzere,



    yazılabilir. Buna göre ilk 20 terimin toplamı,



    dır.
    başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin terimleri için,













    . . .


    yazılabilir. Fibonacci dizisi olmak üzere,

    dır. Buna göre,




    elde edilir. başlangıç değerli

    1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , . . .

    genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin ilk 15 teriminin toplamı,

    olmak üzere bu toplam 3568 dir.

    Genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisinde ilk 10 terimin toplamı 7. terimin 11 katıdır. Örneğin başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde,



    ve olmak üzere



    dir. Genel olarak başlangıç değerli bir genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde,



    olmak üzere









    dir.
    Fibonacci sayılarıyla bitki aleminde karşılaşmanın en çarpıcı örneklerinden biri ayçiçeği tohumlarında mevcut, saat ibresinin hareket yönünde ve buna karşı yönde uzayan iki tür spirallerin (sarmalların) sayısının ardışık iki Fibonacci sayısı olmasıdır. Orta büyüklükte ayçiçekleri için spirallerin sayısı 34 'e karşılık 55 veya 55 'e karşılık 89, daha büyükleri için 89 'a karşılık 144, ve küçükler için de 13 'e karşılık 21 veya 21 'e karşılık 34 olarak gözlenmiştir. Buna benzer bir durum papatya çiçeklerinde 21 'e karşılık 34, ananaslarda 8 'e karşılık 13, çam kozalaklarında 5 'e karşılık 8 veya 8 'e karşılık 13 olarak gözlenmiştir.

    Bitki aleminde yaprakların saplar üzerindeki dizilişi (phyllotaxy) ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiye dair çok sayıda örnek vardır. Örneğin 2/5 kesiriyle ifade edilen bir phyllotaxy, iki yaprağın sap boyunca aynı sıraya gelinceye kadar sap etrafında 2 tur yaptığını ve sap boyunca 5 tane yaprak olduğunu anlatmaktadır. Sap boyunca belli bir yapraktan sonra 6. yaprak aynı hizada olup, ardışık iki yaprak sap etrafında 720/5=144 derecelik açı yapmaktadır. Bazı bitkiler için bu oranlar:

    karaağaç, çim 1/2

    kayın, ayak otu 1/3

    meşe, elma, armut 2/5

    kavak, muz 3/8

    badem, pırasa 5/13

    olarak gözlenmiştir.
    Fibonacci dizisi,

    olmak üzere bir terimin karesinin, yanındaki iki terimin çarpımından 1 birim farklı olduğu kolayca gözlenebilir. Örneğin,











    olduğu gibi. O halde,



    dır. Fibonacci dizisi için geçerli olan bu özellik genelleştirilmiş Fibonacci dizilerinde de vardır. Genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisinin bir teriminin karesi yanındaki iki terimin çarpımından sabit bir sayı kadar farklıdır. Örneğin ve

    olan genelleştirilmiş Fibonacci dizisi,

    olmak üzere,









    . . .


    dır.

    Fibonacci dizisinin ardışık iki teriminin kareleri toplamı için,









    yani,


    dır.


    Fibonacci dizisinin gibi dört ardışık terimi için,

    dır ( İspatlayınız ) .


    Sıfırdan farklı herhangi tamsayısı için 'ye tam olarak bölünen sonsuz tane Fibonacci sayısının, yani Fibonacci dizisinde 'nin katı olan sonsuz tane terimin bulunduğu ve ilk terim arasında 'nin katı olan en az bir tane teriminin var olduğu gösterilmiştir.
    Ardışık iki Fibonacci sayısısının en büyük ortak böleni 1'dir.
    Fibonacci dizisindeki her üçüncü terim 2'ye, her dördüncü terim 3'e, her beşinci terim 5'e, her altıncı terim 8'e, her yedinci terim 13'e, yani her kj. (j=1,2,...) terim 'ya tam olarak bölünmektedir.
    ve olmak üzere bunların dışında, kendi indisinin karesine eşit olan başka bir Fibonacci sayısının bulunmadığı ispatlanmıştır.

    Fibonacci dizisinde asal sayı olan terimlerin sayısının ne olduğu sorusu çözülememiş problemlerden birisidir.


    Ziyaret edilebilecek iki site:

    http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

    http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio


    ALTIN ORAN

    Altın Oran ile ilgili olarak okuyucularımıza Sayın Mehmet Suat Bergil'in "Doğada, Bilimde, Sanatta Altın Oran" isimli kitabından bazı alıntılar yaparak kısa bilgiler vermeye çalışacağız. Meraklı okuyucularımıza Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyelerinden Sayın Prof.Dr. Öner Çakar'ın yaptığı çalışmaları ve Çukurova Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Öğretim Üyelerinden Hocam Sayın Prof.Dr. Fikri Akdeniz’in “Altın Oran” isimli küçük kitabını tavsiye ederim.

    Bilindiği gibi Altın Kesit bir AB doğru parçasının,



    orantısına uygun olarak C noktası tarafından bölünmesidir.(AB gibi bir doğru parçasının uzunluğunu karışıklığa yol açmadığı takdirde yine AB ile göstereceğiz.)

    olduğu göz önüne alınırsa,





    ve

    elde edilir.

    oranına (sayısına) Altın Oran denir.


    Bir AB doğru parçasının Altın Kesitini bulmak için AB ye dik olan ve uzunluğu BD=AB/2 olan BD doğru parçası çizilir. Kenar uzunlukları 1:2: oranında olan DBA dik üçgeninde D merkezli DB yarıçaplı çemberin AD hipotenüsü ile arakesiti (E noktası) bulunur. A merkezli AE yarıçaplı çemberin AB doğru parçası ile arakesiti (C noktası) Altın Kesiti vermektedir.

    Euclide, Altın Kesit ile ilgili olarak başka bir problem daha vermiştir; Öyle bir dikdörtgen bulunsun ki, bundan bir kare çıkarıldığında geriye kalan küçük dikdörtgenin kenar uzunlukları oranı kendisininkiyle aynı olsun. Böyle bir dikdörtgene Altın Dikdörtgen denir.





    Uzun kenarından başlayıp bir Altın Dikdörtgen çizmek için AB kenarının Altın Kesiti olan E noktası bulunur ve sonra AD=AE olacak şekilde ABCD çizilir.



    Kısa kenardan (AD) başlayıp bir Altın Didörtgen çizmek için önce AEFD karesi çizilip sonra AE nin orta noktası (G) den GF yarıçaplı çemberin AE doğrusu ile arakesiti olan B noktası bulunur.

    Bir ABCD Altın Dikdörtgeninde AC köşegenine dik olan BO doğrusu DC kenarının () Altın Kesitinden geçer.


    Yukarıdaki düşünceden istifade ederek bir ABCD Altın Dikdörtgeninde sırasıyla noktalarının çizilmesiyle gitgide küçülen (alanları oranında küçülen ) Altın Dikdörtgenler elde edilir.

    AB kenarını kısa kenar kabul edip gittikçe büyüyen Altın Dikdörtgenler de çizilebilir. AB, BC, C ... doğru parçalarının oluşturduğu şekle dik çizgili sarmal (spiral) denir.

    ABCD Altın Dikdörtgeninde,

    dır.


    Bilindiği gibi, eşit açılı logaritmik spiralin kutupsal koordinatlarda denklemi, ve pozitif reel sabitler olmak üzere,

    biçimindedir. ışın vektörü ile ışın vektörünün spirali kestiği noktadaki teğet arasındaki açının tanjantı,



    dır.


    noktalarından geçen eşit açılı logaritmik spiral için,

    ve


    dır.


    Fibonacci spirali, altın spiral ve logaritmik spiral için:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_spiral

    adresine bakabilirsiniz.

    Birçok canlının büyüme sırasında şekilsel olarak logaritmik spirali izlediği gözlenmiştir. Bu konuda D'arcy Thompson: "Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz; nitekim Doğa da son derece basit olan bu yasayı izler. Kabuk... giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez. İşte, sabit kalan bu büyüme göreceliğinin ya da form özdeşliğinin varlığı, eşitaçılı spiralin özünü ve belki de tanımının esasını oluşturur" diyor.

    Altın dikdörtgenler estetik açıdan göze en hoş görünen dikdörtgenlerdir. Kendilerine çeşitli dikdörtgen örnekleri gösterilip, en güzelini ve en çirkinini seçmeleri istenilerek yapılan araştırmalarda, örneğin Fechner (1876) ve Lalo (1908) 'nun anket sonuçları aşağıdaki gibi olmuştur. (Bilim ve Teknik, Cilt 25, Sayı 297,Sayfa 7)





    ORAN

    Genişlik/Uzunluk



    EN GÜZEL DİKDÖRTGEN

    Fechner (%) Lalo (%)



    EN ÇİRKİN DİKDÖRTGEN

    Fechner (%) Lalo (%)



    1.00

    3.0 11.7

    27.8 22.5

    0.83

    0.2 1.0

    19.7 16.6

    0.80

    2.0 1.3

    9.4 9.1

    0.75

    2.5 9.5

    2.5 9.1

    0.69

    7.7 5.6

    1.2 2.5

    0.67

    20.6 11.0

    0.4 0.6

    0.62

    35.0 30.3

    0.0 0.0

    0.57

    20.0 6.3

    0.8 0.6

    0.50

    7.5 8.0

    2.5 12.5

    0.40

    1.5 15.3

    35.7 26.6

    Kenar uzunlukları oranı Altın Orana yakın olan diktörtgenlerin beğenilme yüzdesi büyük olarak gözlenmiştir. Karenin de beğenilmiş olmasına dikkat ediniz. Altın Dikdörtgene çirkin diyen bir tek kişi bile çıkmamıştır.


    Mimaride, inşa edilecek yapının cephe görünüşünün daima bir Altın Dikdörtgen içine yerleştirilebilmesi dikkat edilecek ilk husus olmaktadır. Mimaride olduğu gibi, resimde de temel ögelerden biri Altın Oran'dır.

    Altın Üçgen: Tepe açısı olan ikizkenar üçgenlere Altın Üçgenler denir.
    Altın Üçgen içine çizilen gitgide küçülen Altın Üçgenlerin köşelerinden de eşit açılı logaritmik spiral geçmektedir.

    Düzgün bir ongen esasında 10 tane Altın Üçgen diliminden oluşmaktadır. Altın Üçgen düzgün beşgenlerde de karşımıza çıkmaktadır.



    FGHJK düzgün beşgeninin kenar uzunluğu 1 birim olursa aşağıdaki özellikler yazılabilir.

















    Yıldızın kolları, çekirdeğini oluşturan FGHJK beşgeninin kenarlarından yukarıya doğru kıvrılıp birleştirilirse oluşan piramidin yüksekliğinin, tabanı çevreleyen çemberin yarıçapına oranı dir.
    Altın Oran konusunu Norman Gowar'ın sözleri ile noktalayalım. "Belirli bir sayının, birbirinden bağımsız olarak hem matematik hem de estetik bilimlerini ilgilendiren bir çekiciliği olması, insanı çileden çıkaracak derecede ilginç bir husustur. Üstelik, Altın Oran, insanların tasarımından kaynaklanmaksızın Doğa'da da ortaya çıkmaktadır."






        Ana sayfa


    Fibonacci DİZİSİ

    Indir 95.83 Kb.