bilgiz.org

4. BÖLÜNMÜŞ farklar, enterpolasyon ve polinomlarla yaklaşIM: BÖLÜNMÜŞ farklar

  • Tanım: f(x) in Birinci mertebeden Bölünmüş Farkı
  • Tanım: Lineer (Birinci mertebeden) enterpolasyon
  • Lineer Enterpolasyon
  • Tanım: f(x) in İkinci mertebeden Bölünmüş Farkı
  • Tanım: İkinci Mertebeden Enterpolasyon.
  • Birinci Mertebeden Enterpolasyonun Kesme Hatası



  • Sayfa1/4
    Tarih14.10.2017
    Büyüklüğü345.49 Kb.

    Indir 345.49 Kb.
      1   2   3   4

    4. BÖLÜNMÜŞ FARKLAR, ENTERPOLASYON

    ve POLİNOMLARLA YAKLAŞIM:
    4.1. BÖLÜNMÜŞ FARKLAR:
    Belirli bir f(x) fonksiyonu için verilmiş, aşağıdaki gibi, bir tabloya baktığımızı düşünelim.



    x

    f(x)=Sinx













    00

    0.0000































    10

    0.0175































    30

    0.0349































    50

    0.0872































    60

    0.1045































    90

    0.1564














    Aslında Sinx fonksiyonunun herhangi bir x- için değerini hesaplamakta kullanabileceğimiz çok daha etkin yöntemler olduğunu tabii biliyoruz. Ancak konuyu açıklamak amacı ile varsayalım ki bu fonksiyon hakkında elimizdeki bilgi bu tablodaki kadardır. Üstelik verilen değerler değişken aralıklarla verilmiştir. Özellikle deneysel çalışmalarımızda benzer durumlarla sık sık karşılaşırız.
    Şimdi farz edelim ki f(x) fonksiyonunun bu tabloda bulunmayan bir değerine ihtiyacımız var ve bu değeri ancak bu tablodaki mevcut bilgiden yararlanarak bulmak zorundayız.
    Aradığımız değer f(x) ise öte yandan tablomuzun ilk değeri xilk ve son değeri xson ise bu değer bulma işlemine:
    x [xilk , xson ] olduğunda ENTERPOLASYON
    x [xilk , xson ] olduğunda EKSTRAPOLASYON
    denildiğini biliyoruz. Buradaki çalışmamızda yalnızca enterpolasyon işlemi ile ilgileneceğiz.
    Aradığımız f(x) değerini belirleyen x- değerinin tablomuzda olmadığını fakat tablodaki en küçük ve en büyük değerler arasında bulunduğunu kabul ettik. Öyleyse bu x- değeri tabloda verilen birbirine komşu herhangi iki değer arasında yer alacaktır. Bunlardan x- ten küçük olanına x0 ve x- ten büyük olanına x1 diyelim. Şu halde x0 < x < x1 yazabiliriz. Burada f(x0) ve f(x1) değerleri bilinmekte, f(x) aranmaktadır.
    Bu problemi çok eskiden beri biliyoruz. Çözmek için de LİNEER ENTERPOLASYON adını verdiğimiz basit bir oranlama işlemi yapıyoruz. Burada da öyle yapacağız. Ancak genelleştirme olanağı sağlamak için bir az daha sistemli bir yol izleyeceğiz.

    Tanım: f(x) in Birinci mertebeden Bölünmüş Farkı:

    Görüldüğü gibi basit bir oranlama işlemi. Şimdi bu değerleri tablomuzu kullanarak hesaplayalım ve tablolayalım,



    x

    f(x)=Sinx

    (Sinx)










    00

    0.0000



















    0.0175










    10

    0.0175



















    0.0087










    30

    0.0349



















    0.0257










    50

    0.0872



















    0.0173










    60

    0.1045



















    0.0519










    90

    0.1564















    Şimdi eskiden beri bildiğimiz bir kavramı yukarıdaki bölünmüş fark tanımından yararlanarak yeniden tanımlayalım.
    Tanım: Lineer (Birinci mertebeden) enterpolasyon:
    Kabul edelim ki f(x) fonksiyonu [x0 , x1] aralığında bir doğru gibi değişmektedir. Diğer sözlerle [x0 , x1] aralığında f(x) bir doğru gibi değişmektedir dolayısıyla bu aralıkta f[x0 , x1] değeri yaklaşık olarak sabit kalmaktadır. Buna göre:
    x0 < x < x1 aralığında f[x0 , x]  f[x0 , x1]
    yazılabilir ki buradan:

    yazabileceğimiz açıktır. Bu ifadeyi f(x) e göre düzenler ve f[x0 , x1] in tanımını yerine yazarsak Lineer Enterpolasyon formülünü elde ederiz.


    Bazen bu ifade, aşağıdaki gibi, determinant biçiminde yazılır.

    Örnekler:


    1. x = 0.50 için Sinx fonksiyonunun değerini lineer enterpolasyonla tablodan hesaplayınız.


    x = 0.5 değeri 0 < 0.5 < 1 arasında olduğuna göre x0 =0, x1 = 1 ve bu aralıktaki f(x) değeri f[x0 , x1] = 0.0175 olarak tablolandığına göre:



    1. Şimdi kabul edelim ki tablomuzda x = 1 değeri yer almamaktadır. Tablo x=0 dan sonra x=2 değerini içermektedir. Bu durumda aynı problemi çözelim.


    x = 0.5 değeri 0 < 0.5 < 2 arasında olduğuna göre x0 =0, x1 = 2 ve bu aralıktaki f(x) değeri

    olarak hesaplanabileceğine göre bu durumda enterpolasyon işlemimi şu biçimi alır.

    Kolayca görülüyor ki buraya kadar ki çalışmamızda f(x) in değerini ararken tabloda x- civarındaki iki x0 < x < x1 noktalarını seçtik ve bu noktalardan geçen doğruyu [x0 , x1] aralığında f(x) in yerine koyduk. Bu doğru parçasının üzerinde x- e karşı gelen değeri f(x) in yaklaşımı olarak kabul ettik.
    f(x) fonksiyonu genel olarak bir eğriyi temsil ettiğine göre [x0 , x1] aralığında bir doğru yerine ikinci mertebeden bir polinom kullansaydık acaba f(x) için daha iyi bir yaklaşım elde edebilir miyiz? Bu soru bizi yukarıdaki Bölünmüş Fark tanımımızı bir mertebe genişletmeye götürüyor.
    Ancak daha önce birinci mertebeden bölünmüş farkın bir özelliğini kısaca inceleyelim.
    Bölünmüş Farkın Türevle İlişkisi:
    Bazı hallerde bölünmüş farkın iki argümanı aynı değere sahip olabilir. Yani x0 = x1 =x olabilir. Bu durumda bölünmüş farkın değeri –eğer varsa- limit alınarak elde edilir. Bunu yapalım.


    Görüldüğü gibi bu işlem bizi f(x) in türevine götürdü. f(x) fonksiyonunu [x0 , x1] aralığında sürekli bir doğru olarak düşündüğümüze göre bu aralıkta daima
    f[x,x] = f’(x)
    olduğunu söyleyebiliriz.
    Artık ikinci mertebeden bölünmüş fark kavramını inceleyebiliriz.
    Tanım: f(x) in İkinci mertebeden Bölünmüş Farkı:
    Yukarıdaki birinci mertebeden fark formülünün tekrar birinci mertebeden farkını alırsak:


    tanımına ulaşırız.
    Şimdi bu tanımı tablomuza uygulayalım ve 2f(x) değerlerini tabloya yerleştirelim.


    x

    f(x)=Sinx

    (Sinx)

    2Sinx







    00

    0.0000



















    0.0175










    10

    0.0175




    -0.0029













    0.0087










    30

    0.0349




    0.00425













    0.0257










    50

    0.0872




    -0.0028













    0.0173










    60

    0.1045




    0.0086













    0.0519










    90

    0.1564














    Şimdi ikinci mertebeden bir enterpolasyon işlemi düşünelim.
    Kabul ettik ki x- civarında f(x) fonksiyonunu ikinci mertebeden bir polinomla değiştireceğiz. Bu polinomu belirlemek için üç noktasını bilmemiz gerekiyor. Bunları f(x) değerini aradığımız x- i içerecek biçimde birbirine komşu üç x- değeri olarak tablodan seçelim: x0 < x1 < x2 . Böylece çalışma aralığımız [x0 , x2] olarak belirlendi ve tabii x[x0 , x2] oldu.
    İkinci mertebeden bir polinomun ikinci mertebeden türevinin, polinomun bütün tanım alanında, bir sabitten ibaret olduğunu biliyoruz. Öyleyse f(x) in üst üste iki defa birinci mertebeden bölünmüş farkını alarak tanımladığımız ikinci mertebeden bölünmüş farkının da [x0 , x2] aralığında sabit kalacağını düşünebiliriz. Buna göre:
    f[x, x0 , x1] = st. ve f[x, x0 , x1]  f[x2 , x0 , x1]  f[x0 , x1 , x2]
    yazabiliriz.
    Tablodaki 2Sinx değerlerinin birbirinden farklı olması normaldir. Çünkü Sinx bir polinom değildir. Yukarıda da belirtildiği gibi buradaki temel kabul [x0 , x2] aralığında Sinx fonksiyonu veya incelediğimiz herhangi bir fonksiyonu yerine ikinci mertebeden bir polinom yerleştirilmesidir. Diğer sözlerle [x0 , x2] aralığında f(x) e ikinci mertebeden bir polinomla yaklaşılmak istenmektedir. Aşağıdaki örneklerde görüleceği gibi f(x) ikinci mertebeden bir polinom seçildiğinde ikinci mertebeden bölünmüş farklar sabit kalacak ve yukarıdaki yaklaşık eşit işaretleri eşit işaretine dönüşecektir.
    Tanım: İkinci Mertebeden Enterpolasyon.
    Şimdi ikinci mertebeden bölünmüş fark tanımını, bu kabullere dayanarak, tekrar yazalım ve açalım.


    Bu son ifadedeki terimleri de açarak yazarsak ikinci mertebeden enterpolasyon formülüne ulaşırız.

    Birinci Mertebeden Enterpolasyonun Kesme Hatası:
    Yukarıdaki formül yukarıdaki birinci mertebeden enterpolasyon formülünün ikinci mertebeye genelleştirilmiş biçimi. Şu halde burada yer alan fakat birinci mertebeden enterpolasyon formülünde görünmeyen son terimi birinci mertebeden enterpolasyonun Kesme Hatası olarak kabul edebiliriz.

    Birazdan Bölünmüş farkları en genel biçimiyle ifade edeceğiz. O zaman ikinci ve daha yüksek mertebeden enterpolasyonlar için Kesme Hatalarını da belirleyeceğiz.
    Örnekler:


    1. f(x) = x2 – 2 için ikinci mertebeden bölünmüş farklar tablosunu xi = -2, 0.5, 1, 3 değerleri için yazınız ve f(0) değerini birinci ve ikinci mertebeden enterpolasyonlar yardımıyla hesaplayınız.


    Tablomuzu yukarıdaki tanımlara uygun olarak hazırlayalım.


    x

    f(x)=x2 - 2

    f(x)

    2f(x)

    -2.0

    2.00













    -2.500




    -0.5

    -1.75




    1.000







    0.500




    1.0

    -1.00




    1.000







    4.000




    3.0

    7.00








    Gerçekten de -2 < x < 3 aralığında 2f(x) = 1 ve sabit olarak görünüyor. Tabii ki türev değerine eşit değil; çünkü türev bir noktadaki limit değerdir. 2f(x) = 1 değeri ise tanımı gereği -2 < x < 3 aralığında geçerlidir.
    Şimdi f(0) değerini birinci mertebeden enterpolasyonla hesaplayalım.


    f(x) = x2 – 2 fonksiyonu için x = 0 daki gerçek değer fG(0) = -2 olduğuna göre büyük bir hata yaptığımız açıkça görülüyor. Birinci mertebeden enterpolasyon için Kesme Hatasını hesaplayabiliriz. Bunu yapalım.


    Kesme Hatası enterpolasyon sonucundaki hatayı tam olarak tahmin etti. Bunun iki sebebi var.

    • f(x) = x2 – 2 ikinci mertebeden bir polinomdur. Yaklaşım fonksiyonumuz birinci mertebeden bir polinom olduğuna göre bu yaklaşımın Kesme Hatası ikinci mertebeden bir polinomla tahmin edilmiştir.

    • Yaptığımız hesaplamalarda, tesadüfen, Yuvarlatma Hatası oluşmamıştır.


    Şimdi aynı f(0) değerini ikinci mertebeden enterpolasyonla bulmaya çalışalım. Kuşkusuz bu, aslında yukarıda bulduğumuz birinci mertebeden iterasyona Kesme Hatasını eklemek demektir. Yine de işlemi yapalım.




    1. Bu defa Sin40 değerini ikinci mertebeden iterasyonla hesaplayalım.


    Bu amaçla tabloya baktığımızda

    formülünü kullanabileceğimiz çeşitli yollar olduğunu görüyoruz. Öncelikle Sin40 ye en yakın ikinci mertebeden iki tane fark mevcut. Bunlardan istediğimizi seçebileceğimiz açık. Ancak bizi bunlardan birine götürecek f(x) ve f(x) değerleri de çok sayıda, üstelik bunlardan da [x0 , x2] aralığı içinde kalmak şartıyla istediğimizi seçebiliriz. Öyleyse hangi yolu kullanacağız.
    Ne yazık ki bu sorunun cevabı çok basit olmakla beraber
      1   2   3   4






        Ana sayfa


    4. BÖLÜNMÜŞ farklar, enterpolasyon ve polinomlarla yaklaşIM: BÖLÜNMÜŞ farklar

    Indir 345.49 Kb.